В 7 и 8 клас се изучава графиката на правата пропорционалност.
Как да построим графика на права пропорционалност?
Нека да разгледаме графиката на пряката пропорционалност, използвайки примери.
Формула за графика на пряка пропорционалност
Графиката на пряка пропорционалност представлява функция.
IN общ изгледпряката пропорционалност има формулата
Ъгълът на наклона на графиката на пряка пропорционалност спрямо оста x зависи от големината и знака на коефициента на пряка пропорционалност.
Преминава графиката на пряката пропорционалност
Графика на права пропорционалност минава през началото.
Графиката на пряката пропорционалност е права линия. Една права линия се определя от две точки.
По този начин, когато се конструира графика на пряка пропорционалност, е достатъчно да се определи позицията на две точки.
Но винаги знаем един от тях - това е началото на координатите.
Остава само да намерим втория. Нека да разгледаме пример за изграждане на графика на права пропорционалност.
Графика на правата пропорционалност y = 2x
Задача .
Постройте графика на права пропорционалност, дадена формула
Разтвор .
Всички номера са там.
Вземете произволно число от областта на пряката пропорционалност, нека бъде 1.
Намерете стойността на функцията, когато x е равно на 1
Y=2x=
2 * 1 = 2
тоест за x = 1 получаваме y = 2. Точката с тези координати принадлежи на графиката на функцията y = 2x.
Знаем, че графиката на пряката пропорционалност е права линия, а правата линия се определя от две точки.
Определение за пряка пропорционалност
Като начало нека си припомним следното определение:
Определение
Две количества се наричат правопропорционални, ако тяхното съотношение е равно на определено различно от нула число, т.е.
\[\frac(y)(x)=k\]
От тук виждаме, че $y=kx$.
Определение
Функция от вида $y=kx$ се нарича пряка пропорционалност.
Пряката пропорционалност е специален случай на линейната функция $y=kx+b$ за $b=0$. Числото $k$ се нарича коефициент на пропорционалност.
Пример за пряка пропорционалност е вторият закон на Нютон: Ускорението на тялото е право пропорционално на силата, приложена към него:
Тук масата е коефициент на пропорционалност.
Изследване на функцията на правата пропорционалност $f(x)=kx$ и нейната графика
Първо, разгледайте функцията $f\left(x\right)=kx$, където $k > 0$.
- $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k>0$. следователно тази функциясе увеличава в цялата област на дефиниция. Няма крайни точки.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
- Графика (фиг. 1).
ориз. 1. Графика на функцията $y=kx$, за $k>0$
Сега разгледайте функцията $f\left(x\right)=kx$, където $k
- Областта на дефиниция са всички числа.
- Диапазонът от стойности е всички числа.
- $f\left(-x\right)=-kx=-f(x)$. Функцията на пряката пропорционалност е странна.
- Функцията преминава през началото.
- $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
- $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Следователно функцията няма инфлексни точки.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
- Графика (фиг. 2).
ориз. 2. Графика на функцията $y=kx$, за $k
Важно: за да начертаете графика на функцията $y=kx$, е достатъчно да намерите една точка $\left(x_0,\ y_0\right)$, различна от началото, и да начертаете права линия през тази точка и началото.
Нека построим графика на функцията, дадена от формулата y = 0,5x.
1. Домейнът на тази функция е множеството от всички числа.
2. Нека намерим някои съответстващи стойности на променливите XИ при.
Ако x = -4, тогава y = -2.
Ако x = -3, тогава y = -1,5.
Ако x = -2, тогава y = -1.
Ако x = -1, тогава y = -0,5.
Ако x = 0, тогава y = 0.
Ако x = 1, тогава y = 0,5.
Ако x = 2, тогава y = 1.
Ако x = 3, тогава y = 1,5.
Ако x = 4, тогава y = 2.
3. Нека маркираме точките в координатната равнина, чиито координати определихме в стъпка 2. Забележете, че построените точки принадлежат на определена права.
4. Нека определим дали други точки от графиката на функцията принадлежат на тази права. За да направим това, ще намерим координатите на още няколко точки на графиката.
Ако x = -3,5, тогава y = -1,75.
Ако x = -2,5, тогава y = -1,25.
Ако x = -1,5, тогава y = -0,75.
Ако x = -0,5, тогава y = -0,25.
Ако x = 0,5, тогава y = 0,25.
Ако x = 1,5, тогава y = 0,75.
Ако x = 2,5, тогава y = 1,25.
Ако x = 3,5, тогава y = 1,75.
След като построихме нови точки върху графиката на функцията, забелязваме, че те принадлежат на една и съща права.
Ако намалим стъпката на нашите стойности (вземете например стойностите Xчрез 0,1; чрез 0,01 и т.н.), ще получим други точки на графиката, принадлежащи на същата линия и разположени все по-близо една до друга от плъзгането. Множеството от всички точки върху графиката на дадена функция е права линия, минаваща през началото.
Така графиката на функцията, дадена от формулата y = khx, където k ≠ 0,е права линия, минаваща през началото.
Ако областта на дефиниция на функцията, дадена от формулата y = khx, където k ≠ 0,не се състои от всички числа, тогава неговата графика е подмножество от точки на права (например лъч, сегмент, отделни точки).
За да се построи права линия, е достатъчно да се знае положението на двете й точки. Следователно, графика на пряка пропорционалност, дефинирана върху множеството от всички числа, може да бъде конструирана, като се използват всякакви две от нейните точки (удобно е да се вземе началото на координатите като една от тях).
Нека, например, искате да начертаете функция, дадена от формулата y = -1,5x. Нека изберем някаква стойност X, не е равно 0 и изчислете съответната стойност при.
Ако x = 2, тогава y = -3.
Нека отбележим точка на координатната равнина с координати (2; -3) . Нека начертаем права линия през тази точка и началото. Тази права линия е желаната графика.
Въз основа на този пример може да се докаже, че всяка права линия, минаваща през началото на координатите и не съвпадаща с осите, е графика на права пропорционалност.
Доказателство.
Нека е дадена права линия, която минава през началото на координатите и не съвпада с осите. Нека вземем точка върху нея с абциса 1. Нека означим ординатата на тази точка с k. Очевидно k ≠ 0. Нека докажем, че тази права е графика на права пропорционалност с коефициент k.
Наистина, от формулата y = kh следва, че ако x = 0, тогава y = 0, ако x = 1, тогава y = k, т.е. графиката на функция, дадена с формулата y = khx, където k ≠ 0, е права линия, минаваща през точките (0; 0) и (1; k).
защото само една права линия може да бъде начертана през две точки, тогава тази права линия съвпада с графиката на функцията, дадена от формулата y = khx, където k ≠ 0, което трябваше да се докаже.
уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.
Как да изградим графики на права пропорционалност?
Начертайте графика на права пропорционалност по формулата y = 3x
Разтвор .
Функцията y = 3x е дефинирана на цялата числова ос. Cm.
Взимаме произволна стойност на x, нека е 1, и намираме y, като заместваме x равно на 1 във формулата y = 3x
Y=3x=
3 * 1 = 3
тоест за x = 1 получаваме y = 3. Точката с тези координати принадлежи на графиката на функцията y = 3x.
Знаем, че графиката на пряката пропорционалност е права линия, а правата линия се определя от две точки.
Току-що намерихме един от тях, а вторият за правата пропорционалност винаги е произходът.
Сега сме готови да начертаем графика на функцията y = 3x.
Отбелязваме точка на координатната равнина с координати (1; 3).
Начертайте права линия през тази точка и началото
Получихме графика на права пропорционалност, дадена по формулата y = 3x.
Намерете от графиката стойността на y, съответстваща на стойността x = 2.
Намерете точка 2 на оста x.
Начертайте вертикална линия през него, докато се пресече с графиката.
Начертаваме хоризонтална линия към оста на играчите. По оста y отиваме до точка 6.
6 е стойността на y, съответстваща на стойността x = 2.
