În clasele a 7-a și a 8-a se studiază graficul proporționalității directe.
Cum se construiește un grafic de proporționalitate directă?
Să ne uităm la graficul de proporționalitate directă folosind exemple.
Formula grafică a proporționalității directe
Un grafic de proporționalitate directă reprezintă o funcție.
ÎN vedere generală proporţionalitatea directă are formula
Unghiul de înclinare al graficului de proporționalitate directă față de axa x depinde de mărimea și semnul coeficientului de proporționalitate directă.
Graficul de proporționalitate directă trece prin
Un grafic de proporționalitate directă trece prin origine.
Un grafic de proporționalitate directă este o linie dreaptă. O linie dreaptă este definită de două puncte.
Astfel, atunci când se construiește un grafic de proporționalitate directă, este suficient să se determine poziția a două puncte.
Dar știm întotdeauna una dintre ele - aceasta este originea coordonatelor.
Mai rămâne doar să-l găsim pe al doilea. Să ne uităm la un exemplu de construire a unui grafic de proporționalitate directă.
Graficul proporționalității directe y = 2x
Sarcina .
Construiți un grafic de proporționalitate directă, formula dată
Soluție.
Toate numerele sunt acolo.
Luați orice număr din domeniul proporționalității directe, fie 1.
Găsiți valoarea funcției când x este egal cu 1
Y=2x=
2 * 1 = 2
adică pentru x = 1 obţinem y = 2. Punctul cu aceste coordonate aparţine graficului funcţiei y = 2x.
Știm că graficul proporționalității directe este o dreaptă, iar o dreaptă este definită de două puncte.
Definiţia direct proportionality
Pentru început, să ne amintim următoarea definiție:
Definiţie
Două mărimi sunt numite direct proporționale dacă raportul lor este egal cu un anumit număr diferit de zero, adică:
\[\frac(y)(x)=k\]
De aici vedem că $y=kx$.
Definiţie
O funcție de forma $y=kx$ se numește proporționalitate directă.
Proporționalitatea directă este un caz special al funcției liniare $y=kx+b$ pentru $b=0$. Numărul $k$ se numește coeficient de proporționalitate.
Un exemplu de proporționalitate directă este a doua lege a lui Newton: accelerația unui corp este direct proporțională cu forța aplicată acestuia:
Aici masa este un coeficient de proporționalitate.
Studiul funcției de proporționalitate directă $f(x)=kx$ și graficul acesteia
Mai întâi, luați în considerare funcția $f\left(x\right)=kx$, unde $k > 0$.
- $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k>0$. Prin urmare, această funcție crește în întregul domeniu de definire. Nu există puncte extreme.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
- Grafic (Fig. 1).
Orez. 1. Graficul funcției $y=kx$, pentru $k>0$
Acum luați în considerare funcția $f\left(x\right)=kx$, unde $k
- Domeniul definiției sunt toate numerele.
- Gama de valori este toate numerele.
- $f\stanga(-x\dreapta)=-kx=-f(x)$. Funcția de proporționalitate directă este impară.
- Funcția trece prin origine.
- $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
- $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Prin urmare, funcția nu are puncte de inflexiune.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
- Grafic (Fig. 2).
Orez. 2. Graficul funcției $y=kx$, pentru $k
Important: pentru a reprezenta un grafic al funcției $y=kx$, este suficient să găsiți un punct $\left(x_0,\ y_0\right)$ diferit de origine și să trasați o dreaptă prin acest punct și origine.
Să construim un grafic al funcției date de formulă y = 0,5x.
1. Domeniul acestei funcții este mulțimea tuturor numerelor.
2. Să găsim câteva valori corespunzătoare ale variabilelor XŞi la.
Dacă x = -4, atunci y = -2.
Dacă x = -3, atunci y = -1,5.
Dacă x = -2, atunci y = -1.
Dacă x = -1, atunci y = -0,5.
Dacă x = 0, atunci y = 0.
Dacă x = 1, atunci y = 0,5.
Dacă x = 2, atunci y = 1.
Dacă x = 3, atunci y = 1,5.
Dacă x = 4, atunci y = 2.
3. Să marchem punctele din planul de coordonate ale căror coordonate le-am determinat la pasul 2. Rețineți că punctele construite aparțin unei anumite linii.
4. Să determinăm dacă alte puncte din graficul funcției aparțin acestei linii. Pentru a face acest lucru, vom găsi coordonatele mai multor puncte pe grafic.
Dacă x = -3,5, atunci y = -1,75.
Dacă x = -2,5, atunci y = -1,25.
Dacă x = -1,5, atunci y = -0,75.
Dacă x = -0,5, atunci y = -0,25.
Dacă x = 0,5, atunci y = 0,25.
Dacă x = 1,5, atunci y = 0,75.
Dacă x = 2,5, atunci y = 1,25.
Dacă x = 3,5, atunci y = 1,75.
După ce am construit puncte noi pe graficul funcției, observăm că acestea aparțin aceleiași drepte.
Dacă reducem treapta valorilor noastre (luăm, de exemplu, valorile X prin 0,1; prin 0,01 etc.), vom primi alte puncte de grafic aparținând aceleiași linii și situate din ce în ce mai aproape unul de celălalt din drag. Mulțimea tuturor punctelor de pe graficul unei funcții date este o dreaptă care trece prin origine.
Astfel, graficul funcției dat de formula y = khx, unde k ≠ 0, este o linie dreaptă care trece prin origine.
Daca domeniul de definitie al functiei dat de formula y = khx, unde k ≠ 0, nu este format din toate numerele, atunci graficul său este un subset de puncte pe o linie (de exemplu, o rază, un segment, puncte individuale).
Pentru a construi o linie dreaptă, este suficient să cunoaștem poziția celor două puncte ale sale. Prin urmare, un grafic de proporționalitate directă definit pe mulțimea tuturor numerelor poate fi construit folosind oricare dintre punctele sale (este convenabil să luăm originea coordonatelor ca unul dintre ele).
De exemplu, doriți să reprezentați o funcție dată de formulă y = -1,5x. Să alegem o valoare X, nu este egal 0 și calculați valoarea corespunzătoare la.
Dacă x = 2, atunci y = -3.
Să marchem un punct pe planul de coordonate cu coordonate (2; -3) . Să tragem o linie dreaptă prin acest punct și origine. Această linie dreaptă este graficul dorit.
Pe baza acestui exemplu, se poate dovedi că orice linie dreaptă care trece prin originea coordonatelor și nu coincide cu axele este un grafic de proporționalitate directă.
Dovada.
Să fie dată o anumită linie dreaptă, care trece prin originea coordonatelor și nu coincide cu axele. Să luăm un punct pe el cu abscisa 1. Să notăm ordonata acestui punct cu k. Evident, k ≠ 0. Să demonstrăm că această dreaptă este un grafic de proporționalitate directă cu coeficientul k.
Într-adevăr, din formula y = kh rezultă că dacă x = 0, atunci y = 0, dacă x = 1, atunci y = k, adică. graficul unei funcții dată de formula y = khx, unde k ≠ 0, este o dreaptă care trece prin punctele (0; 0) și (1; k).
Deoarece doar o singură linie dreaptă poate fi trasată prin două puncte, atunci această linie dreaptă coincide cu graficul funcției dat de formula y = khx, unde k ≠ 0, ceea ce trebuia dovedit.
site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.
Cum se construiesc grafice de proporționalitate directă?
Trasează un grafic de proporționalitate directă având în vedere formula y = 3x
Soluție.
Funcția y = 3x este definită pe întreaga linie numerică. Cm. .
Luăm orice valoare a lui x, fie 1 și găsim y substituind x egal cu 1 în formula y = 3x
Y=3x=
3 * 1 = 3
adică pentru x = 1 obținem y = 3. Punctul cu aceste coordonate aparține graficului funcției y = 3x.
Știm că graficul proporționalității directe este o dreaptă, iar o dreaptă este definită de două puncte.
Tocmai am găsit unul dintre ele, iar al doilea pentru proporționalitatea directă este întotdeauna originea.
Acum suntem gata să graficăm funcția y = 3x.
Marcam un punct pe planul de coordonate cu coordonatele (1; 3).
Desenați o linie dreaptă prin acest punct și origine
Am obținut un grafic de proporționalitate directă dat de formula y = 3x.
Găsiți din grafic valoarea lui y corespunzătoare valorii x = 2.
Găsiți punctul 2 pe axa x.
Desenați o linie verticală prin ea până când se intersectează cu graficul.
Desenăm o linie orizontală pe axa jucătorilor. Pe axa y mergem la punctul 6.
6 este valoarea lui y, corespunzătoare valorii x = 2.
