Slide 2
Soluția inegalităților care conțin funcții trigonometrice se reduce de obicei la rezolvarea celor mai simple inegalități de forma: sin (t); ≥) a; cos (t); ≥) a; tg (t); ≥) a; ctg (t) ; ≥) a; Metodele de rezolvare a acestor inegalități decurg în mod evident din reprezentarea funcțiilor trigonometrice pe cercul unitar.
Slide 3
Slide 4
Inegalități: sin x> a, sin x a, sin x
Slide 5
Slide 6
Inegalitatea trigonometrică sin (t) ≥a.
Toate punctele Pt ale cercului unitar pentru valorile lui t care satisfac această inegalitate au o ordonată mai mare sau egală cu -1/2. Setul de astfel de puncte este arcul l, care este evidențiat cu aldine în figura de mai jos. Să găsim condiția ca punctul Pt să aparțină acestui arc. Punctul Pt se află pe semicercul drept, ordonata lui Pt este 1/2 și, prin urmare, ca t1 este convenabil să luăm valoarea t1 = arcsin (-1/2) = - π / 6. Imaginează-ți că parcurgem arcul l de la punctul Pt1 la Pt2 în sens invers acelor de ceasornic. Atunci t2> t1 și, după cum este ușor de înțeles, t2 = π-arcsin (-1/2) = 7 * π / 6. Astfel, obținem că punctul Pt aparține arcului l dacă -π / 6 ≤ t ≤ 7 * π / 6. Astfel, soluții ale inegalității aparținând intervalului [-π / 2; 3 * π / 2] cu lungimea 2 * π sunt următoarele: -π / 6 ≤ t ≤ 7 * π / 6. Datorită periodicității sinusului, soluțiile rămase se obțin adunând numere de forma 2πn la cele găsite, unde n este un număr întreg. Astfel, ajungem la răspunsul: -π / 6 + 2πn≤t≤7π / 6 + 2πn, n este un număr întreg.
Slide 7
Exemplul 1
Rezolvarea inegalității Să desenăm un cerc trigonometric și să marchem pe el punctele pentru care ordonata este mai mare decât Pentru x, soluția acestei inegalități este. De asemenea, este clar că dacă un număr x diferă de un număr din intervalul specificat cu 2π n , atunci sin x va fi, de asemenea, cel puțin. În consecință, la capetele segmentului găsit al soluției, trebuie doar să adăugați 2π n, unde În cele din urmă, obținem că soluțiile inegalității inițiale vor fi toate unde Răspunde. Unde
Slide 8
Slide 9
Slide 10
Inegalitatea trigonometrică cos (t)
Luați în considerare soluția celor mai simple inegalități trigonometrice cu cosinus prin exemplul rezolvării inegalității cos (t) t1 și t2 = 2π-arccos (1/2) = 5π / 3. Un punct aparține unui arc distinct l (excluzând capetele sale) cu condiția ca π / 3
Slide 11
Slide 12
Inegalitatea trigonometrică tg (t) ≤a
Luați în considerare o metodă de rezolvare a unei inegalități trigonometrice cu tangentă folosind exemplul inegalității tg (t) ≤1. perioada tangentei este egală cu π Să găsim mai întâi toate soluțiile acestei inegalități care aparțin intervalului (-π / 2; π / 2), apoi să folosim periodicitatea tangentei. Pentru a selecta toate punctele Pt ale semicercului drept, ale căror valori t satisfac această inegalitate, să ne întoarcem la linia tangentă. Dacă t este o soluție a inegalității, atunci ordonata punctului T este raza AT (vezi figura de mai jos). Mulțimea punctelor Pt corespunzătoare punctelor acestei raze este arcul l evidențiat în figură cu caractere aldine. Trebuie remarcat faptul că punctul Pt1 aparține mulțimii luate în considerare, în timp ce Pt2 nu. Să găsim condiția în care punctul Pt aparține arcului l. t1 aparține intervalului (-π / 2; π / 2) și tf (t) = 1, prin urmare t1 = arctan (1) = π / 4. Prin urmare, t trebuie să îndeplinească condiția -π / 2
Inegalitățile sunt relații de forma a ›b, unde a și b sunt expresii care conțin cel puțin o variabilă. Inegalitățile pot fi stricte - ‹,› și nestrict - ≥, ≤.
Inegalitățile trigonometrice sunt expresii de forma: F (x) ›a, F (x)‹ a, F (x) ≤ a, F (x) ≥ a, în care F (x) este reprezentată de una sau mai multe funcții trigonometrice .
Un exemplu de cea mai simplă inegalitate trigonometrică este: sin x ‹1/2. Se obișnuiește să se rezolve astfel de probleme grafic; pentru aceasta, au fost dezvoltate două metode.
Metoda 1 - Rezolvați inegalitățile prin reprezentarea grafică a unei funcții
Pentru a găsi intervalul care satisface condițiile inegalității sin x ‹1/2, trebuie să efectuați următorii pași:
- Construiți o sinusoidă y = sin x pe axa de coordonate.
- Pe aceeași axă, desenați graficul argumentului numeric al inegalității, adică dreapta care trece prin punctul ½ al ordonatei OY.
- Marcați punctele de intersecție ale celor două grafice.
- Umbriți segmentul care este soluția pentru exemplu.
Când semnele puternice sunt prezente într-o expresie, punctele de intersecție nu sunt soluții. Deoarece cea mai mică perioadă pozitivă a sinusoidei este 2π, scriem răspunsul după cum urmează:
Dacă semnele expresiei nu sunt stricte, atunci intervalul de soluții trebuie inclus între paranteze drepte -. Răspunsul la problemă poate fi scris și sub forma următoarei inegalități: 
Metoda 2 - Rezolvarea inegalităților trigonometrice folosind cercul unitar
Probleme similare pot fi rezolvate cu ușurință cu ajutorul cercului trigonometric. Algoritmul pentru găsirea răspunsurilor este foarte simplu:
- Mai întâi, desenați un cerc unitar.
- Apoi este necesar să se noteze valoarea funcției arc a argumentului din partea dreaptă a inegalității pe arcul de cerc.
- Este necesar să se traseze o linie dreaptă care trece prin valoarea funcției arc paralelă cu axa absciselor (OX).
- După aceea, rămâne doar selectarea arcului de cerc, care este setul de soluții la inegalitatea trigonometrică.
- Notează răspunsul în forma cerută.
Să analizăm pașii soluției folosind exemplul inegalității sin x ›1/2. Punctele α și β sunt marcate pe cerc - valori
Punctele arcului situat deasupra α și β sunt intervalul de rezolvare a inegalității date.
Dacă trebuie să rezolvați exemplul pentru cos, atunci arcul de răspunsuri va fi situat simetric față de axa OX, și nu OY. Pentru a lua în considerare diferența dintre intervalele de soluții pentru sin și cos, puteți folosi diagramele de mai jos în text.
Soluțiile grafice pentru inegalitățile tangente și cotangente vor diferi atât de sinus, cât și de cosinus. Acest lucru se datorează proprietăților funcțiilor.
Arc tangente și arc cotangente sunt tangente la cercul trigonometric, iar perioada minimă pozitivă pentru ambele funcții este π. Pentru a utiliza rapid și corect a doua metodă, trebuie să vă amintiți pe ce axă sunt reprezentate valorile sin, cos, tg și ctg.
Tangenta tangentă este paralelă cu axa OY. Dacă puneți valoarea arctanului a pe cercul unitar, atunci al doilea punct necesar va fi situat în sfertul diagonalei. Colțuri
Sunt punctele de întrerupere pentru funcție, așa cum tinde graficul, dar nu ajunge niciodată.
În cazul unei cotangente, tangenta este paralelă cu axa OX, iar funcția este întreruptă în punctele π și 2π.
Inegalități trigonometrice complexe
Dacă argumentul unei funcții de inegalitate este reprezentat nu doar de o variabilă, ci de o expresie întreagă care conține o necunoscută, atunci vorbim deja despre o inegalitate complexă. Cursul și ordinea soluției sale sunt oarecum diferite de metodele descrise mai sus. Să presupunem că este necesar să găsim o soluție la următoarea inegalitate:
Soluția grafică prevede construirea unei sinusoide obișnuite y = sin x prin valori alese arbitrar ale lui x. Să calculăm un tabel cu coordonatele punctelor pivot ale graficului:
Rezultatul ar trebui să fie o curbă frumoasă.
Pentru simplitatea găsirii unei soluții, înlocuiți argumentul funcției complexe
Intersecția a două grafice vă permite să determinați aria valorilor dorite la care este îndeplinită condiția de inegalitate.
Segmentul găsit este soluția pentru variabila t:
Cu toate acestea, scopul sarcinii este de a găsi toate variantele posibile ale necunoscutului x:
Rezolvarea inegalității duble este destul de simplă, trebuie să mutați π / 3 în părțile extreme ale ecuației și să efectuați calculele necesare:
Răspuns la sarcină ar arăta ca un interval pentru inegalitatea strictă:
Astfel de sarcini vor necesita experiența și dexteritatea elevilor în manipularea funcțiilor trigonometrice. Cu cât se vor rezolva mai multe sarcini de instruire în procesul de pregătire, cu atât elevul va găsi mai ușor și mai rapid răspunsul la întrebarea test USE.
Inegalitățile care conțin funcții trigonometrice sunt reduse la cele mai simple inegalități de forma cos (t)> a, sint (t) = a și altele asemenea. Și deja sunt rezolvate cele mai simple inegalități. Luați în considerare la diverse exemple modalități de a rezolva cele mai simple inegalități trigonometrice.
Exemplul 1... Rezolvați inegalitatea sin (t)> = -1/2.
Desenați un cerc unitar. Deoarece sin (t) este, prin definiție, coordonata y, marcați punctul y = -1 / 2 pe axa Oy. Desenați o linie dreaptă prin ea paralelă cu axa Ox. În punctele de intersecție ale dreptei cu graficul cercului unitar, marcați punctele Pt1 și Pt2. Conectăm originea coordonatelor cu punctele Pt1 și Pt2 cu două segmente.
Soluția acestei inegalități vor fi toate punctele cercului unitar situat deasupra acestor puncte. Cu alte cuvinte, soluția va fi arcul l .. Acum este necesar să indicați condițiile în care un punct arbitrar va aparține arcului l.
Pt1 se află în semicercul drept, ordonata sa este -1/2, apoi t1 = arcsin (-1/2) = - pi / 6. Pentru a descrie punctul Pt1, puteți scrie următoarea formulă:
t2 = pi - arcsin (-1/2) = 7 * pi / 6. Ca rezultat, obținem următoarea inegalitate pentru t:
Păstrăm semnele inegalității. Și deoarece funcția sinus este periodică, înseamnă că soluțiile se vor repeta la fiecare 2 * pi. Adăugăm această condiție la inegalitatea rezultată pentru t și notăm răspunsul.
Răspuns: -pi / 6 + 2 * pi * n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.
Exemplul 2. Rezolvați inegalitatea cos (t)<1/2.
Să desenăm un cerc unitar. Deoarece, conform definiției, cos (t) este coordonata x, marcați punctul x = 1/2 pe grafic pe axa Ox.
Desenați o linie dreaptă prin acest punct paralelă cu axa Oy. În punctele de intersecție ale dreptei cu graficul cercului unitar, marcați punctele Pt1 și Pt2. Conectăm originea coordonatelor cu punctele Pt1 și Pt2 cu două segmente.
Soluțiile vor fi toate punctele cercului unitar care aparțin arcului l .. Să aflăm punctele t1 și t2.
t1 = arccos (1/2) = pi / 3.
t2 = 2 * pi - arccos (1/2) = 2 * pi-pi / 3 = 5 * pi / 6.
Am obținut inegalitatea pentru t: pi / 3 Deoarece cosinusul este o funcție periodică, soluțiile se vor repeta la fiecare 2 * pi. Adăugăm această condiție la inegalitatea rezultată pentru t și notăm răspunsul. Răspuns: pi / 3 + 2 * pi * n Exemplul 3. Rezolvați inegalitatea tg (t)< = 1. Perioada tangentei este pi. Găsiți soluții care aparțin intervalului (-pi / 2; pi / 2) semicerc drept. Apoi, folosind periodicitatea tangentei, notăm toate soluțiile acestei inegalități. Să desenăm un cerc unitar și să marchem linia tangentă pe el. Dacă t este o soluție a inegalității, atunci ordonata punctului Т = tg (t) trebuie să fie mai mică sau egală cu 1. O mulțime de astfel de puncte va alcătui raza AT. Mulțimea punctelor Pt, care va corespunde punctelor acestei raze - arc l. Mai mult, punctul P (-pi / 2) nu aparține acestui arc.
