Slayt 2
Trigonometrik fonksiyonlar içeren eşitsizlikleri çözmek genellikle şu formdaki basit eşitsizlikleri çözmekten ibarettir: sin(t);≥)a;cos(t);≥)a;tg(t);≥)a;ctg(t);≥) a; Bu eşitsizlikleri çözme yöntemleri oldukça açık bir şekilde trigonometrik fonksiyonların birim çember üzerindeki gösteriminden kaynaklanmaktadır.
Slayt 3
Slayt 4
Eşitsizlikler: sin x > a, sin x a, sin x
Slayt 5
Slayt 6
Trigonometrik eşitsizlik sin(t)≥a.
Bu eşitsizliği karşılayan t değerleri için birim çemberin tüm Pt noktaları -1/2'den büyük veya ona eşit bir koordinata sahiptir. Bu tür noktaların kümesi, aşağıdaki şekilde kalın harflerle vurgulanan l yayıdır. Pt noktasının bu yaya ait olma koşulunu bulalım. Pt noktası sağ yarım daire üzerinde yer alır, Pt'nin ordinatı 1/2'ye eşittir ve bu nedenle t1 olduğundan t1=arcsin(-1/2)=-π/6 değerini almak uygundur. L yayının etrafında Pt1 noktasından Pt2 noktasına saat yönünün tersine gittiğimizi hayal edelim. O zaman t2 > t1 olur ve anlaşılması kolay olduğu gibi t2=π-arcsin(-1/2)=7*π/6 olur. Böylece -π/6 ≤ t ≤ 7*π/6 ise Pt noktasının l yayına ait olduğunu buluruz. Böylece [-π/2; 2*π uzunluğundaki 3*π/2] şu şekildedir: -π/6 ≤ t ≤ 7*π/6. Sinüsün periyodikliği nedeniyle, kalan çözümler, bulunan sayılara n'nin bir tam sayı olduğu 2πn formunun eklenmesiyle elde edilir. Böylece cevaba geliyoruz: -π/6+2πn≤t≤7π/6+2πn, n bir tam sayıdır.
Slayt 7
örnek 1
Eşitsizliği çözelim Trigonometrik bir daire çizelim ve ordinatın x için aştığı noktaları işaretleyelim bu eşitsizliğin çözümü şu olacaktır. Ayrıca, eğer bir x sayısı belirtilen aralıktaki herhangi bir sayıdan 2π n kadar farklıysa o zaman günah olduğu da açıktır. x de daha az olmayacaktır Bu nedenle, çözümün bulunan bölümünün sonuna 2π n'yi eklemeniz yeterlidir, burada Son olarak, orijinal eşitsizliğin çözümlerinin her yerde olacağını bulduk. Cevap. Nerede
Slayt 8
Slayt 9
Slayt 10
Trigonometrik eşitsizlik cos(t)
Cos(t) t1 ve t2=2π-arccos(1/2)=5π/3 eşitsizliklerini çözme örneğini kullanarak en basit trigonometrik eşitsizlikleri kosinüs ile çözmeyi düşünelim. Nokta, π/3 şartıyla seçilen l yayına aittir (uçları hariç).
Slayt 11
Slayt 12
Trigonometrik eşitsizlik tg(t)≤a
tg(t)≤1 eşitsizliği örneğini kullanarak trigonometrik bir eşitsizliği teğet ile çözmek için bir yöntem düşünelim. teğetin periyodu π'ye eşittir. Önce bu eşitsizliğin (-π/2; π/2) aralığına ait tüm çözümlerini bulalım, sonra da teğetin periyodikliğini kullanalım. Sağ yarım dairenin t değerleri bu eşitsizliği karşılayan tüm Pt noktalarını seçmek için teğet çizgisine dönüyoruz. Eğer t eşitsizliğin bir çözümü ise, o zaman T noktasının ordinatı AT ışınıdır (aşağıdaki şekle bakınız). Bu ışının noktalarına karşılık gelen Pt noktaları kümesi, şekilde kalın harflerle vurgulanan l yayıdır. Pt1 noktasının söz konusu kümeye ait olduğu ancak Pt2'nin ait olmadığı belirtilmelidir. Pt noktasının l yayına ait olduğu koşulu bulalım. t1 (-π/2 ; π/2) aralığına aittir ve tf(t)=1, dolayısıyla t1=arctg(1)=π/4. Bu, t'nin -π/2 koşulunu karşılaması gerektiği anlamına gelir
Eşitsizlikler a › b biçimindeki ilişkilerdir; burada a ve b, en az bir değişken içeren ifadelerdir. Eşitsizlikler katı - ‹, › olabilir ve katı olmayan - ≥, ≤ olabilir.
Trigonometrik eşitsizlikler şu formdaki ifadelerdir: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, burada F(x) bir veya daha fazla trigonometrik fonksiyonla temsil edilir .
En basit trigonometrik eşitsizliğe bir örnek: sin x ‹ 1/2. Bu tür problemleri grafiksel olarak çözmek gelenekseldir; bunun için iki yöntem geliştirilmiştir.
Yöntem 1 - Bir fonksiyonun grafiğini çizerek eşitsizlikleri çözme
Sin x ‹ 1/2 eşitsizliği koşullarını karşılayan bir aralık bulmak için aşağıdaki adımları uygulamanız gerekir:
- Koordinat ekseninde bir sinüzoid y = sin x oluşturun.
- Aynı eksende, eşitsizliğin sayısal argümanının bir grafiğini, yani OY ordinatının ½ noktasından geçen düz bir çizgiyi çizin.
- İki grafiğin kesişme noktalarını işaretleyin.
- Örneğin çözümü olan segmenti gölgeleyin.
Bir ifadede katı işaretler mevcut olduğunda kesişim noktaları çözüm değildir. Bir sinüzoidin en küçük pozitif periyodu 2π olduğundan cevabı şu şekilde yazıyoruz:
İfadenin işaretleri kesin değilse, çözüm aralığı köşeli parantez - içine alınmalıdır. Sorunun cevabı aşağıdaki eşitsizlik olarak da yazılabilir: 
Yöntem 2 - Birim çemberi kullanarak trigonometrik eşitsizlikleri çözme
Benzer problemler trigonometrik daire kullanılarak kolayca çözülebilir. Cevap bulma algoritması çok basittir:
- Öncelikle birim çember çizmeniz gerekiyor.
- Daha sonra dairenin yayındaki eşitsizliğin sağ tarafının argümanının yay fonksiyonunun değerini not etmeniz gerekir.
- Yay fonksiyonunun değerinden apsis eksenine (OX) paralel geçen düz bir çizgi çizmek gerekir.
- Bundan sonra geriye kalan tek şey trigonometrik eşitsizliğin çözüm kümesi olan daire yayının seçilmesidir.
- Cevabı gerekli forma yazın.
Sin x › 1/2 eşitsizliği örneğini kullanarak çözümün aşamalarını analiz edelim. Daire üzerinde α ve β noktaları işaretlenmiştir - değerler
Yayın α ve β'nın üzerinde bulunan noktaları, verilen eşitsizliği çözme aralığıdır.
Cos için bir örnek çözmeniz gerekiyorsa, cevap yayı OY'ye değil OX eksenine simetrik olarak yerleştirilecektir. Sin ve cos için çözüm aralıkları arasındaki farkı metinde aşağıdaki diyagramlarda düşünebilirsiniz.
Teğet ve kotanjant eşitsizliklerinin grafik çözümleri hem sinüs hem de kosinüs çözümlerinden farklı olacaktır. Bu, fonksiyonların özelliklerinden kaynaklanmaktadır.
Arktanjant ve arkkotanjant, trigonometrik bir daireye teğettir ve her iki fonksiyon için minimum pozitif periyot π'dir. İkinci yöntemi hızlı ve doğru bir şekilde kullanmak için sin, cos, tg ve ctg değerlerinin hangi eksende çizildiğini hatırlamanız gerekir.
Teğet teğet OY eksenine paralel uzanır. Arctan a'nın değerini birim çember üzerine çizersek, gerekli ikinci nokta köşegen çeyrekte yer alacaktır. Açılar
Bunlar fonksiyon için kırılma noktalarıdır, çünkü grafik onlara yönelir ancak asla onlara ulaşmaz.
Kotanjant durumunda, teğet OX eksenine paralel uzanır ve fonksiyon π ve 2π noktalarında kesintiye uğrar.
Karmaşık trigonometrik eşitsizlikler
Eşitsizlik fonksiyonunun argümanı yalnızca bir değişkenle değil, bilinmeyeni içeren bir ifadenin tamamıyla temsil ediliyorsa, o zaman karmaşık bir eşitsizlikten bahsediyoruz demektir. Bunu çözme süreci ve prosedürü yukarıda açıklanan yöntemlerden biraz farklıdır. Aşağıdaki eşitsizliğe bir çözüm bulmamız gerektiğini varsayalım:
Grafiksel çözüm, keyfi olarak seçilen x değerlerini kullanarak sıradan bir sinüzoid y = sin x oluşturmayı içerir. Grafiğin kontrol noktalarının koordinatlarını içeren bir tablo hesaplayalım:
Sonuç güzel bir eğri olmalıdır.
Çözüm bulmayı kolaylaştırmak için karmaşık fonksiyon argümanını değiştirelim
İki grafiğin kesişimi, eşitsizlik koşulunun karşılandığı istenen değerlerin alanını belirlememizi sağlar.
Bulunan bölüm t değişkeni için bir çözümdür:
Ancak görevin amacı bilinmeyen x'in tüm olası değişkenlerini bulmaktır:
Çifte eşitsizliği çözmek oldukça basittir; π/3'ü denklemin uç kısımlarına taşımanız ve gerekli hesaplamaları yapmanız gerekir:
Göreve cevap katı eşitsizlik aralığına benzeyecek:
Bu tür problemler öğrencilerin trigonometrik fonksiyonları ele alma konusunda deneyim ve el becerisi gerektirecektir. Hazırlık sürecinde ne kadar çok eğitim görevi çözülürse, öğrenci Birleşik Devlet Sınavı test sorusunun cevabını o kadar kolay ve hızlı bulacaktır.
Trigonometrik fonksiyonlar içeren eşitsizlikler çözülürken bunlar cos(t)>a, sint(t)=a ve benzeri formdaki en basit eşitsizliklere indirgenir. Ve zaten en basit eşitsizlikler çözüldü. Şuna bakalım çeşitli örnekler Basit trigonometrik eşitsizlikleri çözmenin yolları.
örnek 1. Sin(t) > = -1/2 eşitsizliğini çözün.
Bir birim çember çizin. Sin(t) tanımı gereği y koordinatı olduğundan, Oy ekseninde y = -1/2 noktasını işaretliyoruz. Üzerinden Ox eksenine paralel düz bir çizgi çiziyoruz. Düz çizginin birim çember grafiğiyle kesiştiği noktada Pt1 ve Pt2 noktalarını işaretleyin. Koordinatların kökenini Pt1 ve Pt2 noktalarına iki parça ile bağlarız.
Bu eşitsizliğin çözümü birim çemberin bu noktaların üzerinde yer alan tüm noktaları olacaktır. Başka bir deyişle çözüm l yayı olacaktır. Şimdi keyfi bir noktanın l yayına ait olacağı koşulları belirtmek gerekir.
Pt1 sağ yarım dairede yer alır, ordinatı -1/2'dir, bu durumda t1=arcsin(-1/2) = - pi/6 olur. Pt1 noktasını tanımlamak için aşağıdaki formülü yazabilirsiniz:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. Sonuç olarak t için aşağıdaki eşitsizliği elde ederiz:
Eşitsizlikleri koruyoruz. Sinüs fonksiyonu periyodik olduğundan çözümlerin her 2*pi'de bir tekrarlanacağı anlamına gelir. Bu koşulu t için elde edilen eşitsizliğe ekliyoruz ve cevabı yazıyoruz.
Cevap: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.
Örnek 2. Cos(t) eşitsizliğini çözme<1/2.
Birim çember çizelim. Tanıma göre cos(t) x koordinatı olduğundan Ox eksenindeki grafikte x = 1/2 noktasını işaretliyoruz.
Bu noktadan Oy eksenine paralel düz bir çizgi çiziyoruz. Düz çizginin birim çember grafiğiyle kesiştiği noktada Pt1 ve Pt2 noktalarını işaretleyin. Koordinatların kökenini Pt1 ve Pt2 noktalarına iki parça ile bağlarız.
Çözümler birim çemberin l yayına ait tüm noktaları olacaktır. t1 ve t2 noktalarını bulalım.
t1 = arccos(1/2) = pi/3.
t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.
t için eşitsizliği elde ettik: pi/3 Kosinüs periyodik bir fonksiyon olduğundan çözümler her 2*pi'de bir tekrarlanacaktır. Bu koşulu t için elde edilen eşitsizliğe ekliyoruz ve cevabı yazıyoruz. Cevap: pi/3+2*pi*n Örnek 3. tg(t) eşitsizliğini çözün< = 1. Teğet periyodu pi'ye eşittir. Sağ yarım dairenin (-pi/2;pi/2) aralığına ait çözümler bulalım. Daha sonra teğetin periyodikliğini kullanarak bu eşitsizliğin tüm çözümlerini yazıyoruz. Bir birim çember çizelim ve üzerine teğetlerden oluşan bir çizgi çizelim. Eğer t eşitsizliğin bir çözümü ise, o zaman T = tg(t) noktasının ordinatı 1'den küçük veya 1'e eşit olmalıdır. Bu tür noktaların kümesi AT ışınını oluşturacaktır. Bu ışının noktalarına karşılık gelecek Pt noktaları kümesi l yayındır. Üstelik P(-pi/2) noktası bu yaya ait değil.
